एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र सामान्य नहीं है। तो कुल कितने तरीकों से $X$ और $Y$ मिलकर एक पार्टी दे सकते हैं जिसमें $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित किया जाए,ताकि $X$ और $Y$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों?

एक निश्चित परीक्षा में,${a_i}$ छात्रों ने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए,जहाँ $i = 1, 2, 3, ..., k$ है। किसी भी छात्र ने $k$ से अधिक गलत उत्तर नहीं दिए। दिए गए गलत उत्तरों की कुल संख्या है:

$5$ लड़के और $5$ लड़कियाँ एक पंक्ति में कितने तरीकों से खड़े हो सकते हैं ताकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों?

मान लीजिए $A_1, A_2, ....., A_{11}$ एक टीम के खिलाड़ी हैं जिनकी टी-शर्ट पर $1, 2, ....., 11$ नंबर अंकित हैं। टीम ने $100$ सोने के सिक्के जीते हैं। इन सिक्कों को खिलाड़ियों के बीच इस तरह वितरित किया जाना है कि प्रत्येक खिलाड़ी $A_i$ को अपने टी-शर्ट नंबर से कम से कम $1$ सिक्का अधिक मिले। इसके अतिरिक्त,कप्तान $(A_1)$ और उप-कप्तान $(A_2)$ को अपने टी-शर्ट नंबर से क्रमशः कम से कम $5$ और $3$ सिक्के अधिक मिलने चाहिए। इन सिक्कों को कितने अलग-अलग तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

$20$ एक रुपये के सिक्कों,$10$ पचास पैसे के सिक्कों और $7$ पच्चीस पैसे के सिक्कों में से छह सिक्कों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

एक सूटकेस के नंबर लॉक में $3$ पहिए हैं,जिनमें से प्रत्येक पर $0$ से $9$ तक के $10$ अंक अंकित हैं। यदि लॉक खोलने के लिए $3$ अंकों के एक विशिष्ट अनुक्रम की आवश्यकता है जिसमें कोई पुनरावृत्ति नहीं है,तो ऐसे कितने अनुक्रम संभव हैं?